Extreme Values of Spectral Response


Extreme Values of Spectral Response

K.Kurojjanawong

4-Jan-2017

หลังจากเกริ่นเรื่อง Gaussian Process Random Vibration ไปหลายครั้ง วันนี้จะมาลงรายระเอียดเรื่อง คุณสมบัติเฉพาะตัวของไอ้ Random Vibration ชนิดนี้ โดยจะกล่าวถึง เฉพาะ Gaussian Process Random Vibration แบบ ย่อย ลงไปอีก คือ Narrow Band Process ใครไม่เข้าใจ ลองไปหาโพส เก่าๆ ของ ผม เรื่อง Narrow กับ Broad Brand Random Process มาอ่านดูก่อน

สมมติฐานสำคัญที่เราใช้ในงาน offshore structure design (เอาเฉพาะ Fixed Template Platform นะ เพราะชนิดอื่น อาจจะไม่ได้ตั้ง Assumption แบบนี้) คือ คลื่นในทะเลต้องเป็นแบบ Gaussian Process Random Vibration แล้วแถมต้อง Narrow Band อีกต่างหาก แล้วมันคือ อะไร ??

คุณสมบัติที่สำคัญของ Gaussian Process Wave ก็คือ ตามชื่อ คือมันต้องมีการกระจายแบบ Gaussian หรืออีกชื่อหนึ่งคือ Normal Distribution ถ้าเราดูในรูป สมมติว่ามันคือ Surface Profile ของคลื่นลูกหนึ่งทื่ถือว่าเป็น Random Vibration ถ้าเราเอาข้อมูลความสูงแต่ละจุดบนคลื่นลูกนั้นมา plot เราจะเห็นว่ามันจะกระจายแบบ Normal Dist.  หรือที่เรียกว่า แจกแจงแบบ ปกติ จะมีลักษณะเป็นโค้งระฆังคว่ำสมมาตร

ถ้าเราเอาเฉพาะค่าที่ Peak หรือ Trough ออกมา plot จะเห็นว่ามันมีการกระจายแบบ Rice Dist. ซึ่งบางครั้งจะเรียกว่า Distribution of Maxima หรือ Distribution of Peak Values ถ้าข้อมูลของ Peak มันกระจุก และใกล้เคียงกันมา มันจะกลายเป็น Narrow Band Process ซึ่งจะทำให้ Rice Dist. มันลู่เข้าไปหา Rayleigh Dist. อธิบายง่ายๆ ก็คือ มี ในแต่ละรอบ มีคาบ ค่อนข้างกระจุกตัวอยู่ที่ คาบใดคาบหนึ่ง ทำให้เมื่อนำมา Plot ในกราฟ จะเห็นเป็น Peak ค่อนข้างสูง และ ชัน อยู่ตรงกลาง

ถ้ามันเป็น Narrow Band มันก็เลยทำให้เราใช้ สมมติฐานต่อมาได้ คือ Distribution of Maxima มันเป็น Rayleigh Dist. และ เมื่อเอา Maximum of Maxima จาก หลายๆ Realization มากระจายจะกลายเป็น Extreme Value Dist. ถ้าจำนวนข้อมูลเรามากๆ มันจะได้การแจกแจงเป็น Gumbel Dist. จากไอ้สมมติฐานนี้ล่ะ มันทำให้ได้ คุณสมบัติของ Extreme Value ออกมาคือ

Mode (Amax) ~ [ 2*ln (N) ]^0.5 * (m0)^0.5

Mean (Amax) ~ [ 2*ln (N) + 0.577 / (2*ln (N)) ]^0.5 * (m0)^0.5

ซึ่ง Mode จะมีโอกาสที่จะเกิดค่า Extreme Value ที่สูงกว่า 1/e = 0.63 หรือ 63% ส่วน Mean จะมี 50% ทำไม มันชื่อ Extreme Value แล้วมันยัง มีค่าสูงกว่า ….. เนื่องจากมันเป็นค่าทางสถิติ ยัง Extreme Value ที่ว่าข้างบน ก็มาจากสถิติ งั้นจะมีค่าสูงกว่าเสมอ อยู่ที่ว่าเราพอใจที่ความเสี่ยงแค่ไหน เท่านั้นเอง

เมื่อเราเอามันมาใช้กับ Wave Height เราจะได้ คุณสมบัติที่ว่าตามสมมติฐาน

1) Gaussian Process งั้น Peak และ Trough มีความสูงเท่ากัน

2) ค่าสูงสุดมันกระจายแบบ Rayleigh งั้น จะได้ค่าประมาณ คือ Hs ~ 4*(m0)^0.5

เมื่อเอาไปแทน กลับไปข้างบน มันเลยกลายเป็น

Mode (Hmax) ~ 2*Mode (Amax) ~ [2*ln (N) ]^0.5 * (Hs/2)

Mean (Hmax) ~ [ 2*ln (N) + 0.577 / (2*ln (N)) ]^0.5 * (Hs/2)

ถ้าเราสมมติอีกว่า จำนวน รอบของ Peak มี 1000 ครั้ง ใน 3 ชม (หรือ คาบ เท่ากับ 10.8วินาที) จะได้

Mode (Hmax) ~ 1.86 * Hs

Mean (Hmax) ~ 1.936 * Hs

งั้น จึงเป็นที่มาว่า ผมบอกเสมอว่า 1.86 * Hs มีโอกาสที่จะเกิด ค่าสูงกว่า 63% แต่ไม่ใช่ 63% ของ ข้อมูลทั้งหมด แต่เป็น 63% ของ ค่าที่สูงๆ ทั้งหลาย

เนื่องจาก โครงสร้าง ตั้ง สมมติฐานว่ามันเป็น Linear System งั้นคุณสมบัติที่ Excitation ซึ่งในทีนี้คือ คลื่น มี ก็เลยถูกส่งถ่ายไปให้ Response ของโครงสร้าง หรือ จะของเรือ ด้วย

แต่เวลาเราออกแบบโครงสร้าง (อย่าเอาไปปนกับ Fatigue นะ ตอนนี้เราพูดถึง Extreme Response เช่น Force หรือ Moment) เราไม่ได้สนใจ “Range” เหมือน Wave Height แต่เราสนใจ “Amplitude” ของมัน งั้น ต้องเอา Factor 2 ที่ใช้ใน Wave Height ออก และก็ต้องเอา Hs ออกไปด้วย แต่เนื่องจากมันเป็น Gaussian Process จะได้ mean มันเป็น ศูนย์ งั้น (m0)^0.5 จะเท่ากับ Root Mean Square (RMS) ทันที

Mode (Max.Response Amp.) ~ [2*ln (N) ]^0.5 * (m0)^0.5 ~ [2*ln (N) ]^0.5 * RMS

Mean (Max.Response Amp.) ~ [ 2*ln (N) + 0.577 / (2*ln (N)) ]^0.5 * (m0)^0.5 ~ [ 2*ln (N) + 0.577 / (2*ln (N)) ]^0.5 * RMS

ถ้าเราสมมติอีกว่า จำนวน รอบของ Peak มี 1000 ครั้ง ใน 3 ชม (หรือ คาบ เท่ากับ 10.8วินาที) จะได้

Mode (Max.Response Amp.) ~ 3.72 * RMS

Mean (Max.Response Amp.) ~ 3.872 * RMS

ค่านี้ จะคือ ค่า Extreme Response ที่เราต้องเอาไปเช็คว่า โครงสร้างเอาโอเครมั้ย แต่อย่างลืมเอาไปรวมกับ Static Stress ด้วย แล้วก็อีกอย่างคือ ไอ้ Spectral Response จะเห็นว่ามันกลายเป็น Positive Definite ไปเรียบร้อยแล้ว งั้น การจะเอาไปรวมกับ Static Stress ก็ต้องรวมกันให้ Conservative ด้วย อาจจะใช้วิธีเดียวกับ Response Spectrum Combination ก็ได้ ซึ่งต้อง เก็บ Envelope ความเป็น ไปได้ ให้หมด ไม่งั้นอาจจะหลุดได้

ถ้าเอาต้องการหา Range of Extreme Value เช่น เอาไปเช็ค Cyclic Capacity ก็ง่าย ด้วยการคูณ 2 เลย จะได้

Mode (Max.Response Range) ~ 7.44 * RMS

Mean (Max.Response Range) ~ 7.75 * RMS

งั้น ไอ้ Storm Factor ที่ว่า เมื่อเอาไปคูณ RMS ก็คือ ค่า Mean (Max.Response Amp.) นั่นเอง เพียงแค่เค้าไม่ได้ใช้ N=1000 ซึ่งถูกต้อง เพราะไม่จำเป็น ….. ด้วย คุณสมบัติ และ สมมติฐานที่เราตั้ง เราสามารถหา Zero Crossing Period ของ Structural Response ได้ด้วยนะ งั้น ถ้าเรารู้ว่า คลื่นลูกนั้น มากี่ ชม เราก็หาได้ว่า N เราคือ เท่าไร ตามที่มันเขียนในสมการนั่นเลย

สุดท้าย ท้ายที่สุด

ไอ้ค่า Mode (Max.Response Amp.) และ Mean (Max.Response Amp.) มันเทียบเป็น Percentile ที่เท่าไร ที่ คลื่น 1000 ลูก ก็เทียบถอยกลับให้ได้ 3.72 กับ 3.872 เลย ก็จะอยู่ที่ Percentile ที่ 99.9 และ 99.945 หรือมีโอกาสที่จะมีค่าสูงกว่า 0.1% และ 0.055% ของข้อมูลทั้งหมดตามลำดับ

ปล. แม่งยาวมาก จริงๆ เคยคิดจะเขียนนานแล้ว แต่ขี้เกียจ เพราะคิดไว้แล้ว ว่าอธิบายยาก และ พิมพ์ ลำบาก เพราะ ตัว อักขระมันเยอะ นี่กะจะเอาสั้น ยังเล่นซะยาว เลย พอแค่นี้แล้วกัน ที่เหลือ ไปหาอ่านเอากันเอง บ้าง ผม ก็อ่านเอาเอง อ่าน อยู่ นานมากกว่าจะเก็ท เพราะ สมมติฐานมัน ต่อๆ กัน จน งง ถ้าไม่มีคนสรุปให้ จะ งง มาก เนื่องจากเดี๋ยวจะโพสเรื่อง Spectral Analysis ของ Pile Stick-up Analysis ถ้าไม่อธิบายเรื่องนี้ คงไม่มีใครเข้าใจ

พิมพ์ผิด พิมพ์ตก หรือ เข้าใจผิด ก็ขออภัยด้วย

Ref.

1) L.H. Holthuijsen, “Waves in Oceanic and Coastal Waters”, Cambridge Press, 2007

2) J.S. Bendat, “Random Data Analysis and Measurement Procedures”, John Wiley and Sons Inc, 4th Ed., 2010

3) D.E. Newland, “An Introduction to Random Vibrations, Spectral and Wavelet Analysis”, Dover Publications Inc, 3rd Ed., 2005

4) Bentley, “SACS Combine Manual Version 10.0.0.2”, 2015

123

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s